Persamaan Kuadrat
Dalam belajar matematika pasti kamu banyak menemukan persamaan-persamaan. Salah satunya adalah persamaan kudrat. Persamaan kuadrat adalah salah satu persamaan yang paling sering digunakan. Persamaan kuadrat merupakan persamaan polinomial (suku banyak) yang memiliki orde (pangkat) dua. Lalu, bagaimana bentuk dan cara menyelesaikan persamaan kuadrat ini?
Persamaan kuadarat sering juga disebut dengan persamaan parabola, karena jika bentuk persamaan kuadrat digambarkan ke dalam koordinat xy akan membentuk grafik parabolik. Persamaan kuadrat dalam x dapat dituliskan dalam bentuk umum seperti berikut:
Dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0
Keterangan:
x = variabel
a = koefisien kuadrat dari x2
b = koefisien liner dari x
c = konstanta
Nilai koefisen a, b, dan c yang menentukan bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam koorinat xy.
Koefisien a menentukan cekung atau cembungnya kurva parabola. Jika nilai a>0 parabola akan terbuka ke atas, jika a<0 parabola akan terbuka ke bawah.
Koefisien b menentukan posisi x puncak parabola atau sumbu simetri dari kurva yang terbentuk senilai x = –b/2a.
Koefisien c menentukan titik potong fungsi parabola dengan sumbu y
Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat
Ada tiga cara untuk mencari akar-akar dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan faktorisasi, kuadrat sempurna dan dengan menggunakan rumus abc.
1. Faktorisasi
Faktorisasi atau pemfaktoran merupakan cara mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan mencari nilai yang jika dikalikan akan menghasilkan nilai lain. Ada tiga bentuk persamaan kuadrat dengan faktorisasi akar-akar yang berbeda seperti berikut:
Contoh 1: x2 + 7x + 10 = 0
Jawab
x2 + 7x + 10 = 0
(x + 5) (x + 2) = 0
x + 5 = 0 x + 2 = 0
x = -5 x = -2
Jadi himpunan penyelesaiannya {-5, -2}
Contoh 2: x2 + 3x – 18 = 0
Jawab
x2 + 3x – 18 = 0
(x + 6) (x – 3) = 0
x + 6 = 0 x – 3 = 0
x = -6 x = 3
Jadi himpunan penyelesaiannya {-5, 3}
Contoh 3: 2x2 + 11x + 12 = 0
Jawab
2x2 + 11x + 12 = 0
(2x + 3) (x + 4) = 0
2x + 3 = 0 x + 4 = 0
2x = -3 x = -4
x = -3/2
Jadi himpunan penyelesaiannya {-3/2, -4}
Contoh 4: 3x2 + x -10 = 0
Jawab
Contoh 3: 3x2 + x -10 = 0
(3x -5) (x + 2) = 0
3x -5 = 0 x + 2 = 0
3x = 5 x = -2
x = 5/2
Jadi himpunan penyelesaiannya {5/2, -2}
Latihan : Faktorkan
1. x² + 6x + 5 = 0
2. x² + 8x + 12 = 0
3. x² – 3x – 10 = 0
4. x² + 4x – 21 = 0
5. 2x² + 7x + 6 = 0
6. 3x² + 5x – 6 = 0
2. Kuadrat Sempurna
Tidak semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan cara faktorisasi. Cara lain, yaitu dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Bentuk persamaan kuadrat sempurna adalah bentuk persamaan yang menghasilkan bilangan rasional. Penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat menggunakan rumus:
(x + p)2 = x2 + 2px + p2
Ubah menjadi bentuk persamaan dalam ( x + p)2 = q
Penyelesaian: (x + p)2 = q adalah
x+p = ± q
x = –p ± q
Contoh: x2 + 6x + 5 = 0
Jawab:
x2 + 6x +5 = 0 diubah menjadi x2 + 6x = –5
Menambah satu angka di ruas kiri dan kanan agar menjadi kuadrat sempurna. Penambahan angka ini diambil dari separuh angka koefisien dari x atau separuhnya 6 yang dikuadratkan, yakni 32 = 9.
Tambahkan angka 9 di ruas kiri dan kanan, sehingga persamaannya menjadi:
x2 + 6x + 9 = –5 + 9
x2 + 6x + 9 = 4
(x+3)2 = 4
(x+3) = √4
x = 3 ± 2
- Untuk x+3 = 2 maka menjadi x = 2 – 3 Sehingga x = –1
- Untuk x+3 = –2 maka menjadi x = –2 – 3. sehingga x = –5
3. Rumus abc
Selain menggunakan faktorisasi dan dengan melengkapi kuadrat sempurna, persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadrat atau biasa dikenal dengan rumus abc.
contoh: x2 + 4x – 12 = 0
Jawab:
x2 + 4x – 12 = 0
a=1, b=4, c= –12
Latihan 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan rumus abc:
1. 2x2 + 5x + 2 = 0
2. 3x2 + 7x – 10 = 0
3. 2x2 – x – 10 = 0
4. 7 + 7y – 5y2 = 0
5. 21 – 8m – m2= 0
Latihan 2
1. Suatu persegi panjang mempunyai panjang lebih panjang 6 meter dari lebarnya. Bila luas persegi panjang tersebut adalah 216 meter² , tentukan panjang dan lebarnya.
2. Panjang salah satu sisi siku-siku sebuah segitiga siku-siku adalah 21 meter lebih panjang dari sisi siku-siku lainnya, dan panjang hipotenusanya 39 meter. Hitunglah panjang kedua sisi siku-siku segitiga tersebut.
3. Luas segiitiga siku-siku adalah 24 meter². Kedua sisi siku-sikunya mempunyai selisih 14 cm. Berapakah panjang setiap sisi siku-sikunya.
4. Sebuah persegi panjang mempunya keliling 42 meter dan luas 80 meter². Tentukan panjang dan lebar persegi panjang tersebut.