Bentuk Aljabar

PENDAHULUAN

Menjelaskan pengertian suku, faktor, dan suku sejenis. Menyelesaikan operasi hitung suku sejenis dan tidak sejenis. Menggunakan sifat perkalian bentuk aljabar untuk menyelesaikan soal. Menentukan penyelesaian dari Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) serta menyelesaikan soal cerita berkaitan dengan SPLDV.

Pernahkah kamu sakit? Apa yang kamu lakukan? Apakah kamu ke dokter? Bila

kamu memeriksakan diri atau berobat ke dokter biasanya dokter akan memberikan resep. Contoh obat yang dibeli dengan resep dokter.

• Pada botol Vitamin C tertulis sehari 3 x 1.
• Pada botol obat batuk tertulis sehari 3 x 2 sendok teh.

Apa arti “3 x 1” atau “3 x 2” itu?

Vitamin C, 3 x 1 artinya dalam sehari vitamin C harus diminum 3 kali, sekali minum 1 tablet. Dengan perkataan lain dalam sehari banyaknya vitamin C yang harus diminum adalah 3, yaitu 1 + 1 + 1. Sehingga 3 x 1 artinya 1 + 1 + 1.

Obat batuk 3 x 2 sendok teh artinya dalam sehari obat batuk harus diminum 3 kali, sekali minum 2 sendok teh. Dengan perkataan lain dalam sehari banyaknya obat batuk yang harus diminum adalah 6 sendok teh, yaitu dari 2 + 2 + 2. Sehingga 3 x 2 artinya2 + 2 + 2.

Arti dari aturan pemakaian obat di atas sebenarnya sama dengan arti perkalian dalam matematika.

“3 x 1” dapat diartikan  3 x 1 = 1 + 1 + 1

“3 x 2”  dapat diartikan  3 x 2 = 2 + 2 + 2

Bilangan-bilangan dalam tanda kotak dapat digantidengan lambang sebarang bilangan asli, misalnya a. Sehingga bila diganti dengan huruf a, maka:

Bentuk Aljabar

1 x a ditulis a

2 x a atau ditulis 2a, dan 2a = a + a

3 x a atau ditulis 3a, dan 3a = a + a + a

4 x a atau ditulis 4a, dan 4a = a + a + a + a, dan seterusnya.

Perhatikan resep dokter “obat batuk sehari 2 x 2 sendok teh“. Dalam matematika, perkalian untuk bilangan yang sama, seperti“2 x 2” itu dapat ditulis 2² . Apakah pada obat yang dibeli dengan resep dokter dapat ditulis 2² ?

Jawabannya tidak dapat. Selanjutnya pada matematika, 2 x 2 x 2 dapat ditulis 2³.

2 x 2 x 2 x 2 x 2 dapat ditulis 2⁵, dan seterusnya. Penulisan itu berlaku juga untuk sembarang bilangan bulat, misalkan a. Dengan demikian berlaku hal berikut.

a⁴ = a x a x a x a

a⁵ = a x a x a x a x a, dan seterusnya.

Perhatikan lagi huruf a dalam 2a, 3a atau a². Huruf a tersebut dinamakan variabel, sedang 2a, 3a atau a²disebut bentuk aljabar.

Contoh bentuk-bentuk aljabar dengan variabel a adalah 3a² + a, –2a. Contoh bentuk-bentuk aljabar dengan variabel b adalah b² + 4, 3b + 5 dan sebagainya. Contoh bentuk-bentuk aljabar dengan variabel a dan b adalah b² + a, 3b + 5a dan seterusnya

Perhatikan bahwa 1 a ditulis a

Perhatikan bahwa a¹ ditulis a

Lihat video berikut 

Contoh 1

Sederhanakan bentuk aljabar berikut:

contoh 1a : 3a² + 4a² 

Jawab :

3a² + 4a² = (a² + a² + a²) + (a² + a² + a² + a2 ) = 7a²

contoh 1b : –2b³ + 4b³

Jawab : (–2 + 4)b³ = 2b³

contoh 1c.

9a – 13a

Jawab : (9 – 13)a = –4a

Bentuk aljabar 5a³ + 4a² – a² + 9a + 6 dapat disederhanakan juga dengan mengumpulkan dan menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku sejenis.

5a³ + 4a² – a ² + 9a + 6

5a³ + (4–1) a² + 9a + 6

5a³ + 3a² + 9a + 6

Bentuk yang terakhir ini terdiri dari 4 suku, yaitu 5a³, 3a², 9a dan 6.

Contoh 2

Sederhanakan bentuk aljabar berikut.

contoh 2a : 3x⁴ + 2x² + x – 2

jawab : Bentuk aljabar ini tidak dapat disederhanakan lagi, karena tidak memiliki suku-suku yang sejenis.

contoh 2b : 6s³ + 2 s² – 3 s² + s – 5

jawab :

6s³ + 2 s² – 3 s² + s – 5

6s³ + (2 – 3) s² + s – 5

6s³ + (– 1) s² + s – 5

6s³ – s² + s – 5

Bentuk aljabar kadangkala menggunakan “perkalian” antara variabel dengan lambang bilangan bulat. Sehingga untuk menyederhanakannya kita menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau terhadap pengurangan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Gunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau terhadap pengurangan untuk menyederhanakan soal-soal di bawah ini.

contoh 3

contoh 3a :

5( a + 2b)

( 5 x a) + (5 x 2b)

5a + 10b

contoh 3b : 7 ( 2x – 5)

7 ( 2x – 5)

7 (2x) + 7(–5)

14x – 35

Contoh 4

Papan nama perusahaan, hotel-hotel atau tempat-tempat hiburan pada umumnya berbentuk suatu persegi panjang. Bila panjang dan lebar suatu papan nama adalah 3x meter dan x meter. Berapakah keliling papan nama itu?

Penyelesaian:

Misalkan keliling papan nama = K meter, maka

2 (3x + x)

2(3x) + 2(x)

6x + 2x

8x

Jadi, keliling papan nama itu adalah 8x meter.

Lihat video berikut 

LATIHAN

Soal 1: Selesaikan bentuk aljabar berikut ini:
1. 4a + 2a
2. 5m + 3m
3. 8x – 2x
4. 6p – 3m

Soal 2: Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut.
1. 6mn + 3mn
2. 16x + 3 + 3x + 4
3. –x – y + x – 3
4. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p
5. 6m + 3(m² – n²) – 2m² + 3n²

Perkalian Suku Tunggal

Telah dibahas bahwa 2 x a = 2a.

Contoh 5

Sederhanakan bentuk aljabar berikut

1. a x 7 x 8
2. 5 x c x (–2d) x c
3. –6 x 4p x (–2q) x 3pq
4. 3m x (–4m²n) x 2np x (–5p)

Jawab

1. a x 7 x b = 7 x a x b ⇒ 7ab
2. 5 x c x (–2d) x c = [5 x (–2]  x c x c x d ⇒ –10c²d
3. –6 x 4p x (–2q) x 3pq = [–6 x 4 x (–2) x 3 ] x p x p x 2 x q ⇒ 144p²q²
4. 3m x (–4m²n) x 2np x (–5p) = [ 3 x (–4) x 2 x (–5)] x m x m x m x n x n x p ⇒ 130m³n²p²

Penjumlahan dan Pengurangan 

Contoh 1 : Jumlahkan suku aljabar berikut

1. 4a – 15 dan 6a + 10
2. –5p + 7q + 12 dan 3p – 10q – 8

Jawab

1. 4a – 15 dan 6a + 10 = (4a + 6a) + (– 15 + 10) ⇒ 10a – 5
2. –5p + 7q + 12 dan 3p – 10q – 8 = (–5p + 3p) + (7q – 10q) + (12 – 8) ⇒ –2p –3q + 4

Contoh 2 : Kurangkan suku aljabar berikut

1. 3a + 7 dari 6a – 9
2. 4p + 3q + 10 dari 8p – 4q – 2

Jawab

1. 3a + 7 dari 6a – 9 = 6a – 9 – (3a + 7) ⇒ (6a – 3a) + (–9 + 7) ⇒ 3a – 2
2. 4p + 3q + 10 dari 8p – 4q – 2 = 8p – 4q – 2 – (4p + 8q + 10) ⇒ (8p–4p) = (–4q –8q) (–2 –10)  ⇒ 4p –12q –12

Perkalian Bilangan dengan Suku Dua

Contoh: Jabarkan bentuk-bentuk berikut

1. x(3x + 5)
2. 2x(4x² – 3y)
3. x(3x + y + 5)
4. 4x(x² + 2xy – 3y²)

Jawab

1. x(3x + 5) = 3x² + 5x
2. 2x(4x² – 3y) = 8x³ – 6xy
3. x(3x + y + 5) = 3x² + xy + 5x
4. 4x(x² + 2xy – 3y²) = 4x³ + 8x²y – 12xy²